ガウス積分

2017/11/17

統計学を学んでいるとよく出てくるのがガウス積分です。ガウス積分は求め方を知っていれば対して解を得るのは対して難しくは無いですが、いちいち求めるには少し手間です。なので、積分結果を覚えておく。公式的に暗記してしまうと、話がスムーズに進みますので次の公式を導出していきたいとおもいます。A,aは実数定数として
$$
int_{-infty}^{+infty}e^{-A(x-a)^2} dx = sqrt{frac{pi}{A}}
$$

証明)
I = int_{-infty}^{+infty} e^{-A(x-a)^2} dxと置くと、I^2
$$
I^2 = int_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty} e^{-A(x-a)^2 -A(y-a)^2} dxdy = int_{-infty}^{+infty} int_{-infty}^{+infty} e^{-A{(x-a)^2 + (y-a)^2}} dxdy
$$
と書くことができる。
ここで
$$
left{
egin{array}{ccc}
x-a & = & r cos heta
y-a & = & r sin heta
end{array}
ight.
$$
と置く。ヤコビアンは
$$
J = left|
egin{array}{cc}
frac{partial x}{partial r} & frac{partial x}{partial heta}
frac{partial y}{partial r} & frac{partial y}{partial heta}
end{array}
ight|
= left|
egin{array}{cc}
cos heta & -r sin heta
sin heta & r cos heta
end{array}
ight| = r
$$
よって
egin{eqnarray}
I^2 &=& int_0^{2pi} int_0^{+infty} e^{-A{(rcos heta)^2 + (rsin heta)^2}} |J| dr d heta
&=& int_0^{2pi} int_0^{+infty} e^{-Ar^2} r dr d heta
&=& int_0^{2pi} d heta int_0^{+infty} re^{-Ar^2} dr
&=& [ heta]_0^{2pi} [-frac{1}{2A} e^{-Ar^2}]_0^{+infty}
&=& 2pi cdot frac{1}{2A}
&=& frac{pi}{A}
herefore I &=& sqrt{frac{pi}{A}} ;;;;; ecause I > 0
end{eqnarray}

参考文献

小寺平治(2014):『明快演習 数理統計』,共立出版